斐波那契數列的矩陣推導(看不懂的可以放棄矩陣了)

来源:http://www.cnblogs.com/zwfymqz/archive/2017/05/06/6817237.html
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一.矩陣乘法 設矩陣A,B 滿足 :A的列數==B的行數 矩陣乘法的運算規則: 將A矩陣的每一行乘以B矩陣的每一列 * == == 二.斐波那契數列的矩陣推導 首先我們想 Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2]; 所以斐波那契數列的第i項之與兩個數也就是Fib[i-1]+Fib[i-2]有 ...


一.矩陣乘法

設矩陣A,B 滿足 :A的列數==B的行數

矩陣乘法的運算規則:

將A矩陣的每一行乘以B矩陣的每一列

*

 

==

 

==

 

二.斐波那契數列的矩陣推導

 

首先我們想

Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2];

所以斐波那契數列的第i項之與兩個數也就是Fib[i-1]+Fib[i-2]有關

 

那麼我們可以設第一個矩陣

M1=

 

因為我們需要利用矩陣推出斐波那契的第n項

所以我們設M1的下一項為M3

則M3=(也就是讓M1的下標整體後移一位)

 

那麼現在我們需要一個過渡矩陣M2來實現這個從M1到M3的操作

因為M1是一個1*2的矩陣

       M3也是一個1*2的矩陣

那麼M2一定是一個2*2的矩陣

(原因:1.M1的列要和M2的行相等

2.M3的列數是2)

設M2=

 

所以

a*fi-2+b*fi-1==fi-1①

c*fi-2+d*fi-1==fi②

 

這個式子看上去是不能解的

但是我們想一下

 

當a==0&&b==1的時候①成立

當c==1&&d==1的時候②成立(Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2])

所以我們很容易的得到矩陣M2

M2=

 

 

三.一道簡單的例題

設fi=fi-1+2fi-2+3fi-3

按照上面的方法求出M1,M2,M3

提示:矩陣推導的時候不帶繫數

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (建議先做再看題解)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解:

設M1=

 

   M3=

 

則M2一定是一個3*3的矩陣

設M2=

則a*fi-1+b*fi-2+c*fi-3==fi== fi-1+2fi-2+3fi-3

   d*fi-1+e*fi-2+f*fi-3==fi-1

   g*fi-1+h*fi-2+i*fi-3==fi-2

 

易得 a==1,b==2,c==3

        d==1,e==0,f==0

        g==0,h==0,i==0

所以

M2=

 


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